Técnicas adaptativas de passo de tempo para solução numérica de equações diferenciais: uma aplicação em modelo biológico de crescimento tumoral

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dc.contributor.advisorRomeiro, Neyva Maria Lopes
dc.contributor.authorPereira, Juliana
dc.contributor.bancaCirilo, Eliandro Rodrigues
dc.contributor.bancaCoelho, Ellen Kenia Fraga
dc.contributor.coadvisorStröher, Gylles Ricardo
dc.coverage.extent71 p.
dc.coverage.spatialLondrina
dc.date.accessioned2024-08-14T17:24:10Z
dc.date.available2024-08-14T17:24:10Z
dc.date.issued2022-08-12
dc.description.abstractA presente dissertação preocupa-se com o desempenho de métodos numéricos implementados com adaptação temporal aplicado em um modelo de crescimento tumoral avascular invasivo, descrito por duas equações diferenciais parciais. O modelo apresenta um crescimento rápido das células cancerígenas, em regiões que possuem grande quantidade de nutrientes e com a escassez de nutrientes o tumor deixa de crescer, configurando um sistema de equações diferenciais parciais rígidos. Isso posto, faz-se interessante, ao invés de utilizar um passo de tempo constante, utilizar diferentes passos de tempo ao longo do processo da solução numérica atualizando automaticamente o passo de tempo em função do histórico do problema (ZAFANELLI et al., 2018). Para resolução numérica do problema, utilizou-se o método de diferenças finitas e dois métodos adaptativos no tempo, método do Erro Local e Algoritmo de Controle de Passo de Tempo Adaptável (ATSC). Inicialmente, foram comparadas as mesmas versões dos métodos numéricos de forma a aplicar o método de Euler e Crank Nicolson, juntamente às suas respectivas versões com e sem adaptação do passo de tempo para três casos classificados, matematicamente, como problemas rígidos, a saber: (i) problema de Gear; (ii) resfriamento de sólidos; (iii) difusão do calor unidimensional em regime não permanente. Os resultados obtidos mostram que os métodos adaptativos proveram soluções numéricas com erros menores que a solução com passo constante e utilizando número menor de iterações, além de, consequentemente, exigir menor tempo de processamento computacional. Aplicou-se a adaptação temporal no modelo de crescimento tumoral, em que é constatado que, apesar dos métodos serem capazes de atualizar automaticamente o passo de tempo, verificou-se uma potencial limitação, ao passo que estes não capturaram pontos de máximo e mínimo locais da solução. Assim sendo, para contornar a referida deficiência, uma modificação, baseada na taxa de variação, é sugerida para o algoritmo Erro Local.
dc.description.abstractother1The present dissertation is concerned with the performance of numerical methods implemented with temporal adaptation applied in a model of invasive avascular tumor growth, described by two partial differential equations. The model shows a rapid growth of cancer cells, in regions that have a large amount of nutrients and with the scarcity of nutrients the tumor stops growing, configuring a system of rigid differential partial equations. That said, it is interesting, instead of using a constant time step, to use different time steps throughout the numerical solution process, to automatically updating the time step as a function of the problem’s history (ZAFANELLI et al., 2018). To numerically solve the problem, the finite difference method and two timeadaptive methods were used, the Local Error´s Method and the Adaptive Time Step Control Algorithm (ATSC). Initially, the same versions of the numerical methods were compared in order to apply the Euler and Crank Nicolson method, together with their respective versions with and without time step adaptation for three cases classified, mathematically, as rigid problems, namely: (i) Gear problem; (ii) solids cooling; (iii) one-dimensional heat diffusion in a nonpermanent regime. The results obtained show that the adaptive methods provided numerical solutions with smaller errors than the solution with constant step and using a smaller number, in addition to requiring less computational processing of the time. The results obtained show that the time step adaptation methods provided numerical solutions with smaller errors than the constant step solution and lower number of iterations, in addition to requiring less computational processing time. Temporal adaptation was applied in the tumor growth model, in which it is found that, despite the methods being able to automatically update the time step, there was a potential limitation, while they did not capture local maximum and minimum points. of the solution. Therefore, to overcome this deficiency, a modification, based on the rate of change, is suggested for the Local Error algorithm.
dc.identifier.urihttps://repositorio.uel.br/handle/123456789/17198
dc.language.isopor
dc.relation.departamentCCE - Departamento de Matemática
dc.relation.institutionnameUniversidade Estadual de Londrina - UEL
dc.relation.ppgnamePrograma de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional
dc.subjectMétodos adaptativos
dc.subjectMétodos numéricos
dc.subjectProblema rígido
dc.subjectDiferenças finitas
dc.subject.capesCiências Exatas e da Terra - Matemática
dc.subject.keywordsAdaptive methods
dc.subject.keywordsNumerical methods
dc.subject.keywordsFinite difference
dc.subject.keywordsStiff problem
dc.titleTécnicas adaptativas de passo de tempo para solução numérica de equações diferenciais: uma aplicação em modelo biológico de crescimento tumoral
dc.title.alternativeTime-step adaptive techniques for numerical solution of differential equations: an application in a biological model of tumor growth
dc.typeDissertação
dcterms.educationLevelMestrado Acadêmico
dcterms.provenanceCentro de Ciências Exatas

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