Um método de volumes finitos para EDP elíptica bidimensional com células triangulares e quadrangulares

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dc.contributor.advisorStröher, Gylles Ricardo
dc.contributor.authorAlvares, Nathalia
dc.contributor.bancaRomeiro, Neyva Maria Lopes
dc.contributor.bancaSantiago, Cosmo Damião
dc.coverage.extent102 p.
dc.coverage.spatialLondrina
dc.date.accessioned2026-08-31T17:02:52Z
dc.date.available2026-08-31T17:02:52Z
dc.date.issued2026-02-25
dc.description.abstractResumo: As equações diferenciais parciais elípticas modelam fenômenos de equilíbrio em diversas áreas da ciência e da engenharia, sendo frequentemente resolvidas por métodos numéricos, como o método de volumes finitos. No entanto, as análises de convergência para operadores de difusão no contexto do método de volumes finitos são frequentemente restritas a malhas que satisfazem condições de ortogonalidade, uma exigência raramente atendida por geradores automáticos de malha em geometrias complexas. Diante desse desafio, o presente trabalho propõe o desenvolvimento e a implementação de um código computacional baseado no método de volumes finitos para a solução de equações diferenciais parciais elípticas em malhas não estruturadas bidimensionais, compostas por volumes triangulares e quadrangulares. A formulação apresentada emprega uma estratégia de reconstrução de gradientes nas faces dos volumes de controle, baseada no método de Green-Gauss aplicado sobre regiões delimitadas pelos centroides de dois volumes adjacentes e pelos vértices da face compartilhada. Um dos principais diferenciais deste estudo encontra-se no tratamento das condições de contorno, propondo uma abordagem unificada que generaliza as condições de Dirichlet, Neumann e Robin por meio de uma formulação única, aplicada a um pseudocentroide definido na face de contorno. A verificação do código foi realizada por meio do Método das Soluções Fabricadas, com três casos de teste. Foram utilizadas malhas triangulares, quadrangulares e hibridas, as quais foram sistematicamente degradadas mediante distorções controladas. A qualidade da malha foi quantificada por métricas como qualidade ortogonal, distorção angular e razão de aspecto, permitindo uma análise detalhada do comportamento da convergência em função da degradação geométrica. Os resultados demonstram que a metodologia proposta mantem uma ordem de convergência próxima de dois, mesmo em malhas severamente distorcidas, tanto para meios isotrópicos quanto anisotrópicos, apresentando resultados numericamente mais satisfatórios em comparação com a abordagem tradicional baseada em interpolação geométrica para condições de contorno. A análise comparativa entre malhas triangulares e quadrangulares revelou que, para uma mesma quantidade aproximada de volumes, as malhas quadrangulares proporcionam maior precisão numérica. As malhas hibridas mostraram-se viáveis e estáveis, confirmando a flexibilidade do método. Adicionalmente, foi conduzida uma aplicação pratica, simulando a difusão de oxigênio no estroma da córnea humana, ilustrando a capacidade do código em lidar com geometrias não triviais e condições de contorno complexas
dc.description.abstractother1Abstract: Elliptic partial differential equations model equilibrium phenomena in various fields of Science and engineering and are often solved using numerical methods such as the finite volume method. However, convergence analyses for diffusion operators in the context of the finite volume method are often restricted to meshes that satisfy orthogonality conditions, a requirement rarely met by automatic mesh generators in complex geometries. In light of this challenge, this paper proposes the development and implementation of a computational code based on the finite volume method for solving elliptic partial differential equations on two-dimensional unstructured meshes composed of triangular and quadrangular volumes. The formulation presented employs a strategy for reconstructing gradients on the faces of control volumes based on the Green-Gauss method applied to regions bounded by the centroids of two adjacent volumes and the vertices of the shared face. One of the main contributions of this study lies in the treatment of boundary conditions, proposing a unified approach that generalizes the Dirichlet, Neumann, and Robin conditions through a single formulation, applied to a pseudocentroid defined on the boundary face. The code was verified using the Method of Manufactured Solutions, with three test cases. Triangular, quadrangular, and hybrid meshes were used, which were systematically degraded through controlled distortions. Mesh quality was quantified using metrics such as orthogonality, angular distortion, and aspect ratio, allowing for a detailed analysis of convergence behavior as a function of geometric degradation. The results demonstrate that the proposed methodology maintains a convergence order close to two, even in severely distorted meshes, for both isotropic and anisotropic media, yielding numerically more satisfactory results compared to the traditional approach based on geometric interpolation for boundary conditions. A comparative analysis between triangular and quadrangular meshes revealed that, for approximately the same number of volumes, quadrangular meshes provide greater numerical accuracy. Hybrid meshes proved to be viable and stable, confirming the flexibility of the method. Additionally, a practical application was conducted, simulating oxygen diffusion in the human corneal stroma, illustrating the code’s ability to handle non-trivial geometries and complex boundary conditions
dc.identifier.urihttps://repositorio.uel.br/handle/123456789/19820
dc.language.isopor
dc.relation.departamentCCE - Departamento de Matemática
dc.relation.institutionnameUniversidade Estadual de Londrina - UEL
dc.relation.ppgnamePrograma de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional
dc.subjectMétodo de volumes finitos
dc.subjectMalhas não estruturadas
dc.subjectEquação diferencial parcial elíptica
dc.subjectReconstrução do gradiente
dc.subjectMétodo de green-gauss
dc.subjectMétodos numéricos
dc.subjectAnálise numérica
dc.subjectMatemática aplicada
dc.subject.capesCiências Exatas e da Terra - Matemática
dc.subject.cnpqCiências Exatas e da Terra - Matemática
dc.subject.keywordsFinite volume method
dc.subject.keywordsUnstructured meshes
dc.subject.keywordsElliptic partial differential equation
dc.subject.keywordsGradient reconstruction
dc.subject.keywordsGreen-gauss method
dc.subject.keywordsNumerical methods
dc.subject.keywordsNumerical analysis
dc.subject.keywordsApplied mathematics
dc.titleUm método de volumes finitos para EDP elíptica bidimensional com células triangulares e quadrangulares
dc.title.alternativeUm método de volumes finitos para EDP elíptica bidimensional com células triangulares e quadrangulares
dc.typeDissertação
dcterms.educationLevelMestrado Acadêmico
dcterms.provenanceCentro de Ciências Exatas

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