Um método de volumes finitos para EDP elíptica bidimensional com células triangulares e quadrangulares
Data
2026-02-25
Autores
Alvares, Nathalia
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Resumo
Resumo: As equações diferenciais parciais elípticas modelam fenômenos de equilíbrio em diversas áreas da ciência e da engenharia, sendo frequentemente resolvidas por métodos numéricos, como o método de volumes finitos. No entanto, as análises de convergência para operadores de difusão no contexto do método de volumes finitos são frequentemente restritas a malhas que satisfazem condições de ortogonalidade, uma exigência raramente atendida por geradores automáticos de malha em geometrias complexas. Diante desse desafio, o presente trabalho propõe o desenvolvimento e a implementação de um código computacional baseado no método de volumes finitos para a solução de equações diferenciais parciais elípticas em malhas não estruturadas bidimensionais, compostas por volumes triangulares e quadrangulares. A formulação apresentada emprega uma estratégia de reconstrução de gradientes nas faces dos volumes de controle, baseada no método de Green-Gauss aplicado sobre regiões delimitadas pelos centroides de dois volumes adjacentes e pelos vértices da face compartilhada. Um dos principais diferenciais deste estudo encontra-se no tratamento das condições de contorno, propondo uma abordagem unificada que generaliza as condições de Dirichlet, Neumann e Robin por meio de uma formulação única, aplicada a um pseudocentroide definido na face de contorno. A verificação do código foi realizada por meio do Método das Soluções Fabricadas, com três casos de teste. Foram utilizadas malhas triangulares, quadrangulares e hibridas, as quais foram sistematicamente degradadas mediante distorções controladas. A qualidade da malha foi quantificada por métricas como qualidade ortogonal, distorção angular e razão de aspecto, permitindo uma análise detalhada do comportamento da convergência em função da degradação geométrica. Os resultados demonstram que a metodologia proposta mantem uma ordem de convergência próxima de dois, mesmo em malhas severamente distorcidas, tanto para meios isotrópicos quanto anisotrópicos, apresentando resultados numericamente mais satisfatórios em comparação com a abordagem tradicional baseada em interpolação geométrica para condições de contorno. A análise comparativa entre malhas triangulares e quadrangulares revelou que, para uma mesma quantidade aproximada de volumes, as malhas quadrangulares proporcionam maior precisão numérica. As malhas hibridas mostraram-se viáveis e estáveis, confirmando a flexibilidade do método. Adicionalmente, foi conduzida uma aplicação pratica, simulando a difusão de oxigênio no estroma da córnea humana, ilustrando a capacidade do código em lidar com geometrias não triviais e condições de contorno complexas
Descrição
Palavras-chave
Método de volumes finitos, Malhas não estruturadas, Equação diferencial parcial elíptica, Reconstrução do gradiente, Método de green-gauss, Métodos numéricos, Análise numérica, Matemática aplicada